LE CALCUL MENTAL , à quoi ça sert ?

Calculer  de tête 1237 divisé par 420 peut effrayer ! Un peu d’entraînement au calcul mental servira grandement les élèves depuis le CE2, mais aussi pour de moins jeunes c’est une manière de garder son cerveau bien en forme en mobilisant concentration, mémoire, imagination.

OSERVER – CASSER – EFFECTUER - REGROUPER - REUSSIR 

Le plus souvent, il s’agit de décomposer des nombres en observant dans l’opération ce qui peut être astucieux.
Dans l’exemple 28+7 , on OBSERVE qu’il est possible de rejoindre 30 avec 2. 

En CASSANT 7 en  2 + 5, on EFFECTUE 28 + 2 = 30 , puis on regroupe 30 + 5 = 35 et l’opération est RÉUSSIE 

Plus sobrement : 28 + 7 = 28 + 2 + 5 = 30 + 5 = 35

ADDITIONS  

• 21 + 7 On décompose (on casse) 21 en 20 + 1.    21 + 7 = 20 + 1 + 7 sans problème 28
• 23 +8 On décompose 23 en 20 +3.    23 + 8 = 20 + 3 + 8 = 20 + 11 = 31  ou meilleur choix : on décompose 8 en 7 +1.    23 + 8 = 23 + 7 + 1 = 30 +1 = 31
• 75 + 25 ne nécessite pas de décomposition : c’est bien sûr 100
• 3271 + 424 On décompose 424 en 400 + 20 + 4 .   3271 + 424 = 3271 + 400 + 20 + 4 et on effectue tranquillement dans l’ordre en ayant bien gardé les nombres en mémoire. D’où 3695.
• 78 + 88 On peut décomposer 88 en 2 + 86 78 + 88 = 78 +2 + 86 = 80 + 86 = 166. On peut aussi utiliser des soustraction puisque 78 se décompose en 80 – 2 et 88 en 90 – 2 . Donc 78 + 88 = 80 – 2  + 90 – 2 = 170 – 4 = 166
• La présence d’un 9 est souvent pratique : 733 + 9 = 733 + 10 -1 = 743 -1 = 742
• Plusieurs termes dans une addition ne gênent pas ; avec souvent regroupement des dizaines, centaines etc… Ex : 47 +24 +51 = 40 + 7 + 20 + 4 + 50 + 1 = 110 + 12 = 122

SOUSTRACTIONS 

• 27 – 4 On casse 27 en 20 +7 . Donc 27 – 4 = 20 + 7 – 4 = 23
• 1234 – 1210 . les 1200 présents dans les deux termes s’annulent . Il reste 34 -10 = 24.
• 543181 – 3 . On observe que soustraire 1 est pratique. D’où la casse de 3 = 1 + 2 . Donc 543181 – 1 – 2 = 543180 – 2 = 543178
• 215 – 19 . On casse 19 en 15 + 4 : soustraire 19, c’est soustraire 15 puis 4 .  Donc 215 – 19 = 215 – 15 - 4 = 196
• 845 – 38 . On casse 38 en 40 - 2 . Donc 845 -38 = 845 – 40 + 2 = 805 + 2 = 807 . Prendre garde au plus 2 . En effet, pour prendre 38 objets à quelqu’un, on peut lui en prendre 40, mais il faut lui en redonner 2.
• 81 - 59 . On casse 59 en 60 – 1. Donc 81 -59 = 81 – 60 + 1 = 22

MULTIPLICATIONS 

Le mieux est de connaître sans trop d’hésitations les fameuses tables de multiplication. 

Et de savoir que multiplier un nombre entier par 10, c’et lui coller un zéro à la fin, par 100 deux zéros, par 1000 trois zéros, par 1 000 000 (un million) six zéros.

Quant au milliard, qu’un nombre très important d’individus pense valoir 10 millions, alors qu’il s’agit de 1000 millions. Ceux-là doivent mal suivre les affaires économiques, peut-être aussi croire que la terre est plate !

Une petite particularité de la multiplication par un nombre cassé, c’est qu’elle demande une distribution :

• par exemple 3 * 12, en cassant le 12 en 10 + 2 demande de distribuer le 3 au 10 et au 2, pas de jaloux. C’est-à-dire 3 * 12 = 3 * 10  +  3 * 2 = 30 + 6 = 36
• Autre exemple 3 * 19 , en cassant le 19 en 20 - 1 demande de distribuer le 3 au 20 et au 1. C’est-à-dire 3 * 19 = 3 * 20  -  3 * 1 = 60 - 6 = 57
• 33 * 29 .On casse 29 en 30 – 1 (toujours intéressant d’avoir des zéros à la fin).  Donc 33 * 29 = 33 * 30  -  33 *1 =  990 – 33 que l’on peut écrire 990 – 30 – 3 = 960 – 3 = 957
• 
  
• 
  
  
• 12 * 999 . On casse 999 en 1000 – 1 . Donc 12 * 999 = 12 * 1000  -  12 * 1 = 12 000 - 12 que l’on peut écrire 12 000 – 10 – 2 = 11 990 – 2 = 11 988
• 15 * 41 . On casse 41 en 40 + 1. Donc 15*41 = 15 * 40  +  15 * 1 = 600 + 15 = 615
• Multiplier par 25 est souvent facile puisque 25 * 2 = 50 ; 25 *3 = 75 ; 25 * 4 = 100 . Par exemple 234 * 25 . On garde 25 et on casse 234 en 200 + 30 +4 .                                                           Donc 234 * 25 = 200 *25  +  30 *25  + 4 * 25 = 50 *100 + 75 *10 + 4 *25= 5000 + 750 + 100 = 5850
• Pour multiplier par 4, on multiplie successivement deux fois par 2.
• Pour multiplier par 8 on multiplie successivement trois fois par 2. Ex : 35 * 8 donne 70, puis 140, enfin 280

CARRÉS

Calculer le carré d’un nombre, c’est le multiplier par lui-même, comme 13 * 13 

Le schéma suivant permet vite de s’en sortir en imaginant un carré de 13 de côté découpé ainsi :

Les aires de chaque carré sont faciles à calculer (en multipliant son côté par lui-même) d’où l’aire totale du vert, des deux bleus et du jaune : 100 + 2*30 + 9 = 169

Autre ex : 35 * 35 . En remplaçant 10 par 30 et 3 par 5 sur le dessin ci-dessus, on 35 * 35 = 30*30 + 2*30*5 + 5*5 = 900 + 300 + 25 = 1225

DIVISIONS 

Ne doivent pas effrayer, sauf sans doute s’il s’agit de diviser 123 564 par 249. Mais nous n’irons pas si loin, quoique… 

• Ex : 44 ÷ 7 L’idée est de commencer par estimer à peu près combien de fois on peut faire au maximum entrer de fois 7 dans 44 : 7 * 10 = 70 est beaucoup trop ; 7 *7 = 49 trop encore ; 7 * 5 = 35 trop peu. En tâtonnant ainsi, on voit que 7 *6 = 42 rentre au mieux dans 44 sans dépasser. Le résultat de la division est donc un quotient de 6 et un reste de 2.
• Ex : 132 ÷ 25. On estime que 4 *25 = 100 peut être amélioré avec 5 *25 = 125. Le résultat de la division est donc un quotient de 5 et un reste de 7 (ce qui manque entre 132 et 125)
• 
  
  
• Ex : 1297 ÷ 420 . Puisque 3 * 420 = 1260 entre bien sans être trop ni pas assez. Le résultat de la division est donc un quotient de 3 et un reste de 37 (ce qui manque entre 1297 et 1260).
• Cas simples : pour diviser par 4, on divise deux fois successivement par 2,  pour diviser par 8, on divise trois fois successivement par 2
• pour diviser par 3, on casse si possible le dividende en somme de multiples de 3 : Ex : 705 ÷ 3 = 600 + 99 + 6, d’où quotient exact de 200 + 33 + 2 =235
• pour diviser par 5, il suffit de multiplier par 2, puis de diviser par 10 :                                          Ex : 145 ÷ 5 .      145 *2 = 290, puis le quotient exact par 10    égal à 29.

RÈGLE DE TROIS

• Exemple de question : 9 ananas coûtent 36 € . Combien devrais-je payer pour 11 ananas ?

L’idée est de passer toujours par une unité, ici un ananas :
9 ananas coûtent 36 € 

donc un seul coûtera 36 ÷ 9 = 4 €

donc 11 ananas coûteront 11 * 4 = 44 €

• Exemple : 5 gâteaux coûtent 15 € . Combien devrais-je payer pour 4 gâteaux ? L’idée reste de passer toujours par une unité, ici un gâteau :5 gâteaux coûtent 15 € ,donc un seul coûtera 15 ÷ 5 = 3 €, donc quatre gâteaux coûteront 3 * 4 = 12 €
• Autre exemple : une voiture roule régulièrement à pendant 4 heures et parcourt 320 km. Combien parcourrait-elle en 5 heures ?

4 heures pour franchir 320 km
donc en une heure elle franchit 320 ÷ 4 = 80 km

donc en 5 heures 80 * 5 = 400 km

Mais attention, cette méthode ne s'applique qu'à des grandeurs proportionnelles , c'est-à-dire que si l'une double, l'autre aussi, si elle triple l'autre aussi... Par ex, si j'achète 2 kg des mêmes patates, je paierai proportionnellement le double d'un achat d'un kg.

Dans le vase ci-contre, en doublant la hauteur d'eau,  on fait plus que doubler sa quantité, donc pas de proportionnalité !

 

Tout ce qui précède n’est qu’une méthode élémentaire utilisée dans la plupart des écoles de France.

Mais il en existe bien d’autres, souvent d’une incroyable efficacité, les deux suivantes s’appuyant sur des mathématiques complexes :

• La méthode Trachtenberg est une méthode de calcul mental inventée par Jacow Trachtenberg dans le but de garder un esprit sain lors de son emprisonnement dans un camp de concentration pendant 7 ans.
• L'algorithme Toom-Cook, parfois appelé Toom-3, est un algorithme de multiplication dû à Andrei Toom (en) et Stephen Cook, utilisé pour multiplier deux grands nombres.

Les méthodes basées sur les bouliers

Le boulier chinois est constitué : - d’un cadre en bois, - de 13 tiges de bambou verticales qui indiquent les unités, les dizaines, les centaines, les dixièmes, les centièmes, etc…,  une barre centrale appelée barre de lecture. 

Sur chaque tige verticale, il y a 7 boules, 5 sous la barre centrale et 2 au dessus de la barre centrale, chaque boule sous la barre centrale est appelée unaire et vaut 1, chaque boule au dessus de la barre centrale est appelée quinaire et vaut 5.
Seules les boules attenantes à la barre centrale comptent. Ainsi, sur le boulier ci-dessus est affiché le nombre 37 925.

Signalons que différentes compétitions opposant manipulateurs decalculatrices contre des élites asiatiques du boulier furent remportées par ces derniers, y compris pour des nombres de 6 chiffres !

Enfin, la méthode à l’incroyable efficacité développée par l’école Ste- Bernadette de Tarbes.

 Elle est basée sur l’étude de techniques issues de Singapour pendant les premières années du primaire. Plus une demi-dose de mathématiques  pour les multiplications dites « arc-en-ciel » … Plus  une demi-dose de méthode Trachtenberg pour les multiplications par 5, 9, 11, 25, 125…  C'est presque tout !

Comme toute gymnastique, mentale ou autre, l’important est de pratiquer, sans doute plusieurs fois par semaine. Les progrès sont alors fulgurants !

Bon courage et plaisir à tous les volontaires !